Rođen je 14. prosinca 1965. u Splitu. Prvi nastup za splitske Bile imao je 1984. na Trofeju Marjana, popularnom klupskom turniru koji se u prošlom stoljeću redovito održavao na Poljudu. Pola sezone prije toga nastupa proveo je na posudbi u Splitu tada niželigaškom klubu.
U Hajduku ostaje punih šest godina, do 1990. kada potpisuje za francuski Metz. Za njega je odigrao jednu sezonu, pa je prešao u Cannes, gdje je također odigrao jednu sezonu.
U četiri godine boravka u Francuskoj promijenio je tri kluba, a nakon Cannesa prelazi u Montpellier. Nakon četiri godine provedene u francuskom nogometu, Aljoša se 1994. vraća u svoj Hajduk koji je tada vodio trener Ivan Katalinić.
Bio je okosnica moćne momčadi koju su Splićani stvorili vraćajući iz inozemstva nekadašnje svoje iskusne igrače. To se pokazao dobar potez i za Asanovića s kojim je Hajduk postao još jednom prvak Hrvatske i osvajač Kupa Hrvatske, te nakon niza dugih godina Hajduk je i u Ligi prvaka napravio veliki iskorak.
Prošao je skupinu i došao tada do osmine finala tog elitnog natjecanja. Veliki doprinos tome dao je baš veznjak Aljoša Asanović. Baš te igre u Hajduku iduće sezone (1986.) odvele su ga u španjolski Valladolid.
Dvije godine igrao je u Derby Countyju, zatim šest mjeseci u Napoliju, dvije sezone u grčkom Panathinaikosu i na kraju svoje igračke karijere pola sezone proveo je u bečkoj Austriji. Iz Beča otišao je u Australiju gdje je kratko igrao za klub hrvatskih iseljenika Sydney United, te se vratio u Hajduk i okončao nogometnu karijeru.
Reprezentativnu karijeru počeo je u dresu bivše države za koju je odigrao samo tri utakmice. Međutim, u hrvatskoj reprezentaciji, za koju je zaigrao u prvom susretu protiv SAD-a u Maksimiru 1990., odigrao je čak 62 utakmice i bio jedan od važnijih igrača Vatrenih.
Kao i drugi iz njegove generacije reprezentativaca dao je veliki doprinos u osvajanju trećeg mjesta na SP u Francuskoj, a hrvatska javnost dugo će pamtiti njegovo majstorsko dodavanje početkom drugog poluvremena kada je s polovice igrališta preko Francuske obrane uposlio Davora Šukera za vodstvo Hrvatske.
Bio je i na Euru u Engleskoj, a reprezentativnu karijeru završio je 28. lipnja 2000. godine u susretu protiv Francuske. Veliko prijateljstvo sa Slavenom Bilićem, suigračem iz Hajduka i reprezentacije, rezultiralo je poslije završetka igračke karijere trenerskim pozivom. Aljoša Asanović je Bilića pratio kao pomoćni trener najprije u stožeru mlade, a potom i A-reprezentacije, te u moskovskom Lokomotivu.
Samo je dvije utakmice samostalno vodio mladu hrvatsku reprezentaciju dok je Slaven Bilić bio na operaciji kuka. To je bilo u doigravanju sa Srbijom i Crnom Gorom za odlazak na Europsko prvenstvo mladih do 21 godinu. Obje utakmice - u Beogradu i Velikoj Gorici - Hrvatske ja izgubila. Asanović je zbog svađe sa sucom u Beogradu bio kažnjen i uzvratni susret u Velikoj Gorici pratio je s tribina.
Aljoša Asanović je oženjen s Katarinom. Imaju sina Antonio, koji se kao i otac, bavi nogometom. Trenutačno igra u jednom rumunjskom prvoligašu, a kćer Anamarija je postala poznata hrvatska modna kreatorica. Čak je na jednoj njezinoj modnoj reviji kao maneken sudjelovao i otac Aljoša koji je ponosan na svoju kćer Anamariju.