Rođen je 26. travnja 1938. u Maloj Mlaki kod Zagreba gdje je završio osnovnu školu. Gimnaziju je pohađao u Zagrebu. Diplomirao je na Pravnom fakultetu u Zagrebu. Magistrirao je muzeologiju na poslijediplomskom studiju bibliotekarstva, dokumentacije i informacijskih znanosti. Dokumentarno je obradio opuse uglednih hrvatskih umjetnika i objavljivao u stručnim časopisima.
„Zbirku Biškupić“ utemeljio je 1964. Počeo je skupljati umjetnine od 1956. a kao kulturno dobro registrirana je 1976. Uređivao je monografije u Grafičkom zavodu Hrvatske te likovna izdanja u Nacionalnoj i sveučilišnoj knjižnici. Ukupno je od sedamdesetih do danas izdao i uredio 125 literalno-likovnih bibliografskih izdanja domaćih i stranih autora. Od 1972. bavio se bibliofilskim izdavaštvom promovirajući pisanu riječ i likovni izričaj hrvatskih umjetnika u Europi. Od 1974. do 1980. radio je u odvjetničkom uredu u Zagrebu.
S Ivom Sanaderom, kasnijim hrvatskim premijerom, upoznao se početkom osamdesetih kad je on bio književni urednik u Splitu. Sastajali su se u zagrebačkoj galeji Sira ponekad razgovarajući o politici i stanju u društvu. Bili su nezadovoljni stanjem u državi i istomišljenici glede Hrvatske i njezine budućnosti. Krajem osamdesetih bio je delegat u Republičkom SIZ- u za kulturu. Nikada nije bio član Saveza komunista. Tamo je, kako je objasnio, bio pozvan po hrvatskoj liniji kako bi promovirao neke važne projekte. Taj SIZ je 1989. promovirao Sanaderovu knjigu „Fenomen parfema“.
Član je HDZ-a od 1990. Nakon demokratskih promjena te godine postaje direktor Republičkog fonda kulture. 1992. je pomoćnik ministra kulture i prosvjete Vlatka Pavletića. Zamjenik je bio Vesni Girardi-Jurkić. 1993. je postao zamjenik gradonačelnika Grada Zagreba a 1995. predsjednik gradskog HDZ-a. Nakon pada Vukovara pokrenuo je Vukovarski muzej u progonstvu te akciju suvremena hrvatska umjetnost za Muzej hrvatske umjetnosti u Mostaru.
Ministar kulture bio je od 1995. do 2000. Bio je stalni član Predsjedničkog vijeća, savjetodavnog tijela predsjednika RH. Nakon isteka ministarskog mandata postaje saborski zastupnik u Županijskom domu. U tom domu bio je član Odbora za zakonodavstvo te član Gradske skupštine Grada Zagreba. Tijekom borbe za vlast u HDZ-u 2002. između Ivića Pašalića i Ive Sanadera stao je na stranu Sanadera. Ubrzo postaje jedan od njegovih najbližih suradnika. Nakon dolaska HDZ-a na vlast 2003. ponovno postaje ministar kulture. Ministar je i u sljedećoj Sanaderovoj vladi 2007.
Bio je međunarodni tajnik HDZ-a, u čemu mu je pomoglo odlično znanje njemačkog i engleskog te pasivno ruskog. Sanadera je redovito pratio na svim putovanjima i fotografirao njegove susrete. Zbog toga su ga bili proglasili njegovim „osobnim fotografom“. On sam je rekao kako je to činio za svoju osobnu dokumentaciju. Posprdno su ga zvali „ministrom vanjskih poslova u sjeni“. Nakon Sanaderova naprasnog odlaska s vlasti, ostaje jedno vrijeme ministar i u vladi Jadranke Kosor. Smijenila ga je zajedno s nekoliko drugih ministara u prosincu 2010. Tijekom suđenja Ivi Sanader za Fimi Mediju, jedan galerist je ustvrdio kako je bivši premijer u društvu s Lukom Bebićem i Božom Biškupićem obično obilazio galerije i tada bi rezervirao slike koje bi poslije plaćao rizničar HDZ-a Mladen Barišić. Biškupić je poslije komentirao kako nije bilo potrebe da ga upućuje u vrijednost umjetnina.
„Čovjek ima ženu diplomiranu povjesničarku umjetnosti, ima svoj ukus, što će mu Biškupić da ga savjetuje“, rekao je. Bio je ministar gotovo dvanaest godina. „Ne znam kakva će biti ocjena mog mandata, to će ocijeniti javnost, no, poznajući hrvatski mentalitet, sigurno će biti loša, kad bi bila dobra morao bih se jako zamisliti“, rekao je.
Sa suprugom Ljerkom ima kćer, povjesničarku umjetnosti. Živi u kući od 500 četvornih metara u zagrebačkom naselju Stenjevec u kojoj je smještena i galerija s njegovom vrijednom umjetničkom zbirkom. Ima i obiteljsku kuću u Maloj Mlaki. Razna zemljišta. Vikendicu na moru, u Sutivanu na Braču, darovao je svojoj kćeri. Posjeduje posebnu zbirku od 310 grafičkih mapa s 3010 grafičkih listova. Nakon isteka saborskog mandata 2011. podnio je zahtjev za odlaskom u mirovinu.