Rođen je 7. lipnja 1965. godine u Banjoj Luci. Njegovi roditelji, otac Marinko i majka Dragica, rođena Tolj, porijeklom su iz mjesta Kašće, općina Ljubuški u Hercegovini, koje se nalazi uz samu granicu s Hrvatskom, blizu Vrgorca.
U mjesto svojih roditelja došao je 2010. kada je sa svojom tada 91.-godišnjom bakom Zorkom, pustio u rad vodovod.
Otac mu je bio policajac pa se obitelj selila. Tako su se iz Banje Luke prije Draganova polaska u školu preselili u Split, u kvart Sućidar, gdje provodi djetinjstvo. U Splitu je završio osnovnu i srednju školu, i diplomirao na Medicinskom fakultetu 1991. godine.
Te godine odlazi u Sjedinjene Države na Sveučilište Connecticut, Medical School, gdje se obrazovao iz područja genetike i forenzike.
U Zagrebu je 1997. na Medicinskom fakultetu obranio doktorsku disertaciju pod naslovom „Osteogenesis imperfecta kao posljedica pogreške u obradi glasničke RNA“. U SAD-u se stručno usavršavao u nekoliko laboratrija, forenzičkih centara, bolnica i policijskih akademija.
Jedan je od utemeljitelja analize DNK u sudskoj medicini u Hrvatskoj. Bio je dugogodišnji član Vladinog ureda za poginule i nestale, sa svojim timom identificirao je žrtve iz masovnih grobnica iz Domovinskog rata. Posebno se istaknuo kao autor izvornih rezultata o genetičkom podrijetlu Europljana, pri čemu je posebno radio na genetičkom podrijetlu Hrvata te naroda Bosne i Hercegovine.
Osnivač je američko-europskog kongresa iz kliničke i sudske genetike koji se svake dvije godine održava u Hrvatskoj.
Suorganizator tog Kongresa u zadnje vrijeme je i Mayo Clinic iz SAD-a. Autor je više od stotine znanstvenih radova uglavnom iz područja forenzičkih znanosti i populacijske genetike o čemu su objavljeni tekstovi u prestižnim znanstvenim časopisima poput Sciencea, Lanceta i drugih. Citiran je dosada oko 1100 puta.
Dobitnik je brojnih domaćih i međunarodnih priznanja, među ostalim, Nagrade za životno djelo Instituta za forenzičke znanosti Sveučilišta New Haven za doprinos razvoju forenzičkih znanosti te nagrade talijanske regije Veneto za posebna postignuća i promicanje znanosti u Europskoj uniji. Primorca se drži osobom koja ima dobre međunarodne kontakte kako u SAD-u tako i u Izraelu, gdje je bliskim odnosima s obitelji izraelskog predsjednika Shimona Peresa.
U politiku se uključio na poziv bivšeg hrvatskog premijera Ive Sanadera. Nakon pobjede HDZ-a na izborima 2003. kao nestranačka osoba postaje ministar znanosti, obrazovanja i športa u njegovoj vladi. Tijekom mandata ponovno je pokrenuo projekt besplatnih školskih udžbenika a tada je zaživio i Bolonjski proces na hrvatskim sveučilištima i veleučilištima.
Nakon Sanaderova iznenadnog odlaska iz politike i Primorac daje ostavku na ministarsku dužnost 1. srpnja 2009.
Krajem te godine sudjeluje kao nestranački kandidat na predsjedničkim izborima. Iz utrke je ispao nakon prvog kruga s osvojenih 5, 93 posto glasova.
Tijekom obnašanja ministarske dužnosti stalno je govorio o Hrvatskoj kao zemlji znanja.
„Želja mi je da Hrvatska u svijetu, osim po Jadranskome moru, bude poznata i prepoznata kao zemlja znanja“, ponavljao je Primorac ističući kako naša djeca neće imati strah za svoju budućnost jer će „poznavati dva strana jezika i biti informatički pismena“.
Tijekom tog razdoblja Primorac je davao veliku potporu osnivanju znanstvenih ustanova Hrvata u Bosni i Hercegovini.
U njegovo vrijeme događali su se studentski štrajkovi i blokada sveučilišta zbog zahtjeva za besplatnim školovanjem.
Iz tog razdoblja datira i jedna neobičnost. Kada ga je skupina studenata, nakon njegova intervjua Radiju 101, sačekala na ulici i počela uzvicima tražiti njegovu ostavku i on sam im se pridužio vičući zajedno s njima: „Ostavka, ostavka“.
Nakon takvog istupa studenti su ostali u čudu ne znajući što bi dalje komentirajući kasnije takav njegov potez „apsurdnim i bizarnim“, dok je sam Primorac to objasnio kao „spontanu reakciju“.
Kasnije se razočarao i u HDZ i u Sanadera naglašavajući kako su ga najprije iskoristili a potom prevarili. HDZ, u koji se učlanio 25. rujna 2007. napustio je 5. prosinca 2009. godine.
Dragan je u braku sa suprugom Jadrankom, porijeklom iz Jastrebarskog, nekad djelatnicom Ministarstva vanjskih poslova a sada zaposlenom u jednoj privatnoj konzultantskoj tvrtki. Diplomirala je Ekonomski fakultet. Imaju dvije kćeri. Ima mlađeg brata Damira, rođenog 1969. u Banjoj Luci.
Damir je diplomirao pravo 1993. u Splitu, a doktorirao je 2007. u Zagrebu s disertacijom „Kaznena djela protiv sigurnosti pomorskog prometa. Od 2008. radi kao odvjetnik.
U djetinjstvu je trenirao nogomet i atletiku a kasnije se počeo baviti borilačkim vještinama, najprije karateom a potom teakwondoom. Sada preferira teretane, mali nogomet te trčanje i šetnje u prirodi. Kada je u Zagrebu, često ide na Sljeme, a u Splitu voli trčati Marjanom. U braku je s Jadrankom, diplomiranom ekonomisticom.