Za seniorsku momčad bijelih debitirao je 1958. godini i za njih je igrao 11 godina. Za Hajduk je odigrao 434 utakmice i zabio četiri pogotka. Cuzzi je bio kapetan splitske momčadi koja je osvojila Kup bivše države u sezoni 1966./67. Igrao je još za Split i Lausanne (Švicarska).
Za reprezentaciju bivše države odigrao je osam utakmica, a debitirao je u prijateljskoj utakmici protiv SSSR-a u Moskvi 4. rujna 1965. godine. U Hajduku je igrao na poziciji desnog bočnog braniča i posljednjeg igrača obrane. Bio je vrlo specifičan igrač, oštrog udarca i izvanredno brz, bio je razarač i graditelj igre.
Nakon nogometne karijere Cuzzi je bio je klupski dužnosnik u Hajduku, diplomirao je pravo te bio sudac Županijskog suda u Splitu. Bio je član uprave bijelih, predsjednik skupštine te nositelj zlatne Hajdukove kapetanske trake.
Vinko Cuzzi u tuzi je ostavio suprugu Ranku i sina Ivu, koji je nekoć također igrao za Hajduk.