Predizborna kampanja u Hrvata je upravo u tijeku. Razmišljajući kojem od kandidata (ili možda nikojem?) dati svoj glas, malo je koji građanin svjestan matematičke pozadine izbornih sustava. Naime, iako je odabir izbornog sustava ponajprije politička, formulacija pravna, a provedba istog tehnička stvar, dobrim dijelom matematička je stvar analiza prednosti i mana pojedinog sustava.
Za izbore za predsjednika RH primjenjuje se većinski sustav s balotažom: ako tko od kandidata već u prvom krugu osvoji apsolutnu većinu (više od pola) svih danih glasova, on je pobjednik, a u suprotnom u drugi krug idu dva prvoplasirana kandidata i onda će jedan od njih sigurno ostvariti apsolutnu većinu i imat ćemo predsjednika.
Primijetimo prvo da je lako zaključiti zašto ne bi bilo dobro primijeniti sustav relativne većine, tj. jednostavno odrediti da je pobjednik izbora onaj tko u prvom krugu ostvari najviše glasova. Uzmimo primjerice sljedeću situaciju: za predsjednika, gradonačelnika ili što već natječu se četiri kandidata A, B, C i D. Izborima pristupi recimo 10 000 birača. Svaki od njih zasigurno ima bar načelno mišljenje o poretku kandidata. Nekima je recimo A najdraži, zatim B, pa C, a kandidata D nikako ne žele vidjeti na predsjedničkom mjestu. Drugi pak imaju neki drugi osobni poredak kandidata. Recimo da su stvarna mišljenja birača kao u sljedećoj tablici:
Što će vidjeti izborno povjerenstvo u slučaju izbora metodom relativne većine? Vidjet će samo prve izbore birača i kako je njih najviše, 3500, na prvo mjesto stavilo kandidata A proglasit će njega pobjednikom. Pogledate li pak tablicu ponovno vidjet ćete zašto to može biti loš odabir: u našem je primjeru kandidat A za sve ostale – veliku većinu od 6500 birača – najgora opcija!
To je razlog zašto se za većinu ozbiljnih izbora ne primjenjuje metoda relativne većine: previše je vjerojatno da većina birača nikako ne bi bili zadovoljni s pobjednikom. Naš sustav s balotažom čini se puno boljom opcijom, zar ne? U situaciji iz primjera, u drugi krug bi išli kandidati A i B, koji su u prvom krugu osvojili po 35 % odnosno 25 % svih glasova, i u drugom bi krugu (uz pretpostavku da se nitko od birača ne predomisli u svojim ukusima i da svi ponovno izađu na izbore) pobijedio B jer većina (6500 birača) smatra B boljim od A. Očigledno pravednija odluka!
No, ovaj (i ne samo ovaj) sustav ipak ima „kvaku“! Naime, često je da birači glasuju neiskreno, u smislu da ne glasuju točno u skladu sa svojim stvarnim mišljenjem, nego primjerice jer njihov najdraži kandidat nema šansi za pobjedu glasuju za nekog drugog u nadi da bar neće biti izabran kandidat kojeg uopće ne žele vidjeti kao pobjednika. Zamislimo da su prethodnom tablicom dana stvarna mišljenja glasača, ali se dio njih odluči glasovati drugačije nego stvarno misli. Recimo da je to što prikažu u prvom krugu izbora u skladu s drugom tablicom:
Dakle, onih 1000 birača koji zapravo smatraju redoslijed A, B, C, D najboljim, odluče se – primjerice jer su načuli da je B favorit, a nije im baš mrzak – glasovati u skladu s redoslijedom B, A, C, D. Što će se dogoditi je sljedeće: u drugi krug će u ovom slučaju ići B (koji sad ima 4000 prvih mjesta) i kandidat C (koji ih ima 2200). No, u drugom krugu pobijedit će B (jer je sad C za ukupno 2000 + 2200 + 1800 = 6000 birača iznad B)! I to iako je sad još više birača nego prije proglasilo B boljim od A, a nitko mu u osobnoj rang listi nije dao lošiju poziciju u odnosu na prvotno mišljenje ...
Ima ovaj sustav još mana (primjerice, može se dogoditi da kandidat koji bi u pojedinačnim ogledima s ostalim kandidatima pobijedio svakog od njih, ovim sustavom ne ispadne pobjednik). Vjerujem da se sad pitate: pa zašto onda nemamo neki sustav bez takve mane?
Odgovor, vjerovali vi to ili ne, nije samo politički: matematički se može pokazati da savršen izborni sustav koji nikad ne daje nelogične rezultate ne postoji. Ako od sustava zahtijevamo nekolicinu razumnih pretpostavki(1), matematički je dokazano da ne postoji sustav koji bi ih istovremeno sve zadovoljavao! To je poznato kao Arrowljev teorem nemogućnosti (Kenneth Joseph Arrow, američki ekonomist i nobelovac je dokazao prvu varijantu 1963.). Kasnije uz razne promjene uvjeta dokazane varijante tog teorema, čak i neke donekle optimistične (uz promjenu nekih pretpostavki), no teorem je ipak pokazao dvije važne stvari: prvo, ne možemo za svaki smisleni odabir uvjeta koje želimo da izborni sustav zadovoljava osmisliti takav izborni sustav i drugo, matematika može pomoći u kritičkom sagledavanju prednosti i mana pojedinih sustava i tako u odabiru najboljeg kompromisa. A čitatelje koji žele znati više o matematici izbora upućujemo na web-stranicu http://www.cut-the-knot.org/ctk/Democracy.shtml
1: Izvorne Arrowljeve su pretpostavke bile: svi birači su u stanju rangirati sve kandidate i to tako da ako im je jedan kandidat draži od drugog, a drugi od trećeg, podrazumijeva se da to znači da im je prvi draži od trećeg; ne postoje zabranjene osobne ni konačne rang liste; ne želimo sustav u kojemu se kao u gornjem primjeru može dogoditi da u osobnim rang listama nekom kandidatu poraste popularnost, ali na koncu taj kandidat prođe lošije; u konačnoj rang listi odnos između dvojice kandidata ovisi samo o tome kako se njih dva odnose u osobnim rang listama, a ne i o drugim kandidatima; sustav nije diktatorski, tj. ne postoje pojedinac ili skupina koji neovisno o mišljenju birača odabiru pobjednika.
>> Ministarstvo izložbu preporučilo djeci u vrtićima i učenicima
Nikakva matematika ne može riješiti Bakove jednadžbe jer su nepoznanice nestalne. Kad izračunate da je nepoznanica tri, Bauk kaže - nije nego četiri. A ne možeš dokazati ni da je tri ni da je četiri jer ustavni suci vjeruju Bauku.