Rođen je 12. prosinca 1930. u Splitu, kao izvanbračno dijete. Preminuo u Zagrebu 19. srpnja 2014. Njegov ga biološki otac Vinko Ružić, podrijetlom Splićanin, nikada nije javno priznao sina.
Podizale su ga majka Josipa, odnosno Bepina, rođena u Metkoviću i baka Ana, njezina majka.
Kustićevi roditelji upoznali su se u Paškoj solani, gdje je njegov otac bio njegovoj majci administratorici, a kasnije šefici računovodstva, nadređeni na poslu, prvotno zaposlen kao blagajnik, a pred rat i za njegova trajanja kao direktor Solane Pag.
Materijalno je bio dobrostojeći, a za kratke veze s majkom Živka Kustića bio je oženjen i imao dvoje djece – u trenutku Živkova rođenja ima trinaestogodišnju kćer i tri godine mlađega sina. Odlučio je ne priznati ga, tako da ga je Živkova mama tužila, pa je na sudu dokazano očinstvo.
Na krštenju u Splitu dobio je imena Živko i Ante po obiteljskom zaštitniku sv. Antunu Padovanskom, kojemu se od rana molio i, kako kaže - "razgovarao" s njim kao s prijateljem.
U dobi od dvije godine dobio i jedva prebolio upalu pluća. Naučio je čitati s pet godina zahvaljujući knjizi Otona Kučere Gibanje i sile. Za njegov katolički odgoj najzaslužnija je duboko pobožna baka Ana. Ona ga je, ustvari, odgojila, i to u vjeri. Objasnio je Kustić da mu je majka davala ponos i važnost, a sadržaj duše, čitavu svijest – baka, s kojom je stalno bio do polaska u školu.
Kao devetogodišnjak bio je vođa Malih križara u Pagu.
Kao izvanbračno dijete je, kaže, tražio obitelj, zajednicu, zamjenu, supstituciju i kad je dobio Boga za oca, porijeklo je bilo uspostavljeno.
Maštao je da će biti svećenik i novinar. Za Drugoga svjetskoga rata, u dobi od 12 i 13 godina, "uređivao" je i "izdavao" te rasturao u tridesetak primjeraka svoj uradak s imenom Križarski đak'. Majka je sve tipkala i preko indigo papira umnožavala na poslu. Za njegovo intelektualno usmjerenje zaslužan je svećenik, sociolog i književnik Joso Felicinović. Imao je veliku biblioteku koju mu je dao na raspolaganje.
Tri desetljeća kasnije, godine 1973., objavio je svoj prvi i jedini roman, s naslovom Zaljubljeni robovi. Roman je najvećim dijelom Kustićeva autobiografija.
I dok se za rata u pubertetskoj dobi Živko Kustić bavio "izdavaštvom" u Pagu, drugi sin njegova oca, polubrat mu Oren Ružić bio je član SKOJ-a i prvoborac, predvodnik ustanika na Pagu, 1942. ,sekretar Kotarskog komiteta KPH Pag-Rab, a s proljeća 1945. pomoćnik političkog komesara. Nisu komunicirali, ponašali su se kao neznanci. U Pagu je do kraja 1943. Bio i njihov otac. Po dolasku njemačkih postrojbi prebjegao je na Vis.
Za vrijeme ljetnih praznika, kad je Kustić studirao na Bogoslovskom fakultetu u Zagrebu, 1952. Prvi put je sreo oca.
Htio ga je vidjeti, s njim popričati. Taj dan zapamtio je kao – strašan. 22-godišnjak je saznao da biološki otac prema njemu ne osjeća očinstvo, da se on - slučajno dogodio.
Ipak, kaže da ga nikada nije zamrzio nego je bio i zauvijek ostao ogorčen. Vidjeli su se još jednom u Splitu, kad je Živko bio grkokatolički svećenik i imao djecu. S njim je bila i supruga Marica. Po Kustićevu pričanju, otac se izbezumio.
Kustić se oženio još kao bogoslov, početkom 1955. godine, nakon četvrte od šest godina studija. Tri godine stariju Maricu Radenković upoznao je za služenja vojnoga roka 1953. u JNA, u Nišu. Bila je bolničarka, a kasnije radila u Upravi Doma JNA. Mladić koji do tada, kako sam kaže, nije ni za ruku prihvatio neku djevojku, "civilno" se oženio još za boravka u Nišu.
U tom razdoblju mu više ni na pamet nije padalo da će postati svećenik. Otišao je u Zagreb i prekinuo studij teologije. Marica je došla za njim, pa su unajmili podstanarsku sobicu. Ona se zaposlila u bolnici, a on tri godine studirao teorijsku fiziku.
Godine 1957. njegov ispovjednik pater Scheibel iznio mu je iznenađujući prijedlog da se ipak zaredi - u Križevačkoj biskupiji grkokatoličkog obreda. Treće dijete bilo je na putu, ali se prvi šok ubrzo pretvorio u radost.
Živko i Marica Kustić vjenčali su se u crkvi sv. Petra u Zagrebu.
Zaređen je 4. svibnja 1958. Jer je s rimokatoličkoga prešao na grkokatolički obred u kojemu nema celibata.
Iz Križevaca, nakon zaređenja, raspoređen je u grkokatoličku župu Mrzlo Polje, a kardinal Alojzije Stepinac, koji je bio zatočen u Krašiću, poručio mu je preko svoga župnika da je proučio njegov slučaj i da mu čestita. Četiri godine poslije Kustić je služio u župi Sošice.
Marica, žena iz "posve drugoga svijeta", u svemu ga je pratila.
Od jeseni 1963. Kustić je počeo raditi u Glasu Koncila, gdje je kao glavni urednik bio do 1990.
Kao glavni urednik Glasa koncila ima velike zasluge za održavanje i organizaciju Nacionalnog euharistijskog kongresa 84., koji je održan u Mariji Bistrici. Glas koncila je organizirao i press centre u Zagrebu i Mariji Bistrici. Nakon održanog Kongresa, 1985. Glas koncila postaje tjednik.
U njemu je Kustić u rubrici Pismo seoskog župnika, koju je potpisivao kao Don Jure, pisao redakcijske komentare o aktualnostima iz života Katoličke crkve u komunizmu
Bio je pokretač Kršćanske sadašnjosti, vjeronaučne olimpijade, Maloga Koncila... U studenome 1993, postao je prvi glavni urednik Informativne katoličke agencije IKA, koju je HBK tada utemeljio.
Živko Kustić posljednje je godine proveo u Domu za starije osobe u Klaićevoj ulici u Zagrebu. S njim je tu bila i životna suputnica Marica, do kolovoza 2010., kada je napustila ovaj svijet. Vikende provodi kod svoje djece. Kustić je postao je pet puta otac, četrnaest puta djed, pa pet puta pradjed. Nažalost, jedan njegov i Maričin sin je umro.
Ovo je jedinstven slučaj da su majka i sin rođeni iste godine: "Rođen je 12. prosinca 1930. u Splitu, kao izvanbračno dijete. Njegov ga biološki otac Vinko Ružić, podrijetlom Splićanin, nikada nije javno priznao sina. Podizale su ga majka Josipa,osipa, odnosno Bepina, rođena u Metkoviću 1930. i baka Ana, njezina majka...."