Naizgled slučajno riješen je jedan matematički problem za koji znanstvenici dugo nisu imali rješenja. A to je kako pronaći 'einsteina', oblik nazvan po znamenitom fizičaru a koji može popločavati beskonačno ravnu površinu bez da se uzorak nikada ne ponovi, odnosno da se to tim uzorkom napravi bez 'šablone'. Još jednom, problem je odgovoriti na pitanje postoji li geometrijski lik (,,protopločica“) tako da je moguće popločavanje njezinim kopijama, ali je ono uvijek aperiodično. Doc. dr. sc. Franka Miriam Brueckler s Matematičkog odsjeka Prirodoslovno-matematičkog fakulteta u Zagrebu objasnila nam je kako su aperiodična popločavanja ona koja se, ma kako daleko išli ("u beskonačnost") ne ponavljaju.
- Iako uvijek prikazujemo popločavanja u ograničenom dijelu, podrazumijeva se da su beskonačna, odnosno neograničena, između ostalog zato da ne bismo morali unaprijed reći koliko veliki isječak gledamo. Odavno je poznato da ako popločavanje ima simetriju reda 5, 7 ili većeg (tj, može se zaokrenuti za petinu, sedminu ili manji dio punog kuta), sigurno je aperiodično. Općenito za dani skup pločica moze biti neodlučivo (ne može se ni dokazati ni opovrgnuti) može li s njima ili ne biti napravljeno neperiodično popločavanje, kaže dr. Brueckler.
I sada je na serveru arXiv objavljen preprint rada u kojem se opisuje kako je to postignuto. Rad se zove 'An apreiodic monotile', aperiodični monotil. Kako je ovo preprint, ostaje da znanstvenici iz istog područja znanosti a koji nisu sudjelovali u ovom istraživanju potvrde da je ovo doista moguće. Naizgled jednostavan problem sastoji se, dakle, od traženja poligona koji je moguće sklapati poput puzzlea na način da se cijelu ravninu poploča tako da je popločavanje uvijek aperiodično, odnosno da nema ponavljanja odnosno translatorne simetrije. Ako uzmete običan pravokutnik, još jednom ćete vidjeti kako se površina lako popločava, ali praktično uvijek po šabloni.
Pronaći oblik koji šablonu u cijelosti izbjegava druga je stvar. Mogli biste od pravokutnka formirati skup koji bi omogućio aperiodično popločavanje, ali jedinstveni oblik dobili smo tek sada. Do danas je najbliže rješenju došao matematičar Roger Penrose kooji je prije tri godine dobio Nobelovu nagradu ali za istraživanje crnih rupa, no njegove su pločice tvorile površinu tvorile i dva popločenja kod kojih je postojala i zrcalna i peterostruka rotacijska simetrija. Zatim se problemom bavio i kinesko-američki logičar Hao Wang a onda i njegov student Robert Berger. Razlika je bila u tome što je Wang tvrdio kako je neperiodično popločavanje nemoguće a Berger je dokazao suprotno.
- Prvi skup pločica čijim kopijama nastaju isključivo aperiodicna poplocavanja napravio je Berger 1966. a imao je 20.426 razlicitih pločica. Ubrzo su se takvi skupovi pločica smanjili, a najpoznatije aperiodično popločavanje je Penrosrovo popločavanje iz 1974 koje ima 2 osnovne plocice, kaže dr. Brueckler. Kada se to dokazalo počela je potraga za magičnim oblikom. Berger je oblik dobio iz 104 spojena pravilna oblika, Penrose od samo dva, gdje se ispostavilo da to i nije neki problem. Pravi problem je kako neperiodično popločavanje postići samo jednim oblikom.
- Ostalo je otvoreo pitanje postoji li "einstein", "jedna pločica" čijim kopijama se uvijek dobije aperiodično popločavanje. Dakle, ne želimo pločicu s kojom može i periodično i aperiodično, ovisno o tom kako slažemo. Tijekom zadnjih desetljeća dobiveni su neki parcijalni rezultati. Primjerice, takvo popločavanje može se dobiti ako dozvolimo preklapanja, no to onda nije pravo popločavanje, objašnjava naša znanstvenica. Penrose je vjerovao da je to moguće kada je uspio riješiti problem kombinirajući dva oblika, ali je zapostavio tu potragu zbog istraživanja crnih rupa.
- Ako sam ja došao do samo dva oblika, sigurno mora biti načina da se isto izvede samo s jednim. To je naprosto postignuće koje mora doći. Nemam razloga u to ne vjerovati, kazao je nobelovac. Doista, posvuda su se matematičari bavili ovim problemom, pa i u nas. I sada je dobiven oblik kojim je moguće neperiodički popločavati. Evo i kako se to dogodilo. Stanoviti David Smith, samozvani hobist oblika iz Bridlingtona u Istočnom Yorkshireu u Engleskoj, povjerovao je prošlog studenog kako je pronašao 'einsteina', neuhvatljivi oblik kojim se rješava stari matematički problem. Smith koji se nedavno umirovio i bavio se u životu nečim što je na neki način srodno rješavanju ovakvih problema, bio je grafički radnik u tiskari. Matematiku je volio ali nikada nije bio izvrstan.
No, pronalazak 'einsteina' oduvijek ga je intrigirao. Kada je uvidio da njegov 'šešir', oblik, naime, podsjeća na starinski šešir, možda rješava staru zagonetku, pozvao je stručnjake u matematici i računarstvu. I nastao je gore spomenuti rad. Prve reakcije znanstvenika isijavale su oduševljenje jer se oblikom dolazilo do struktura kakve uopće ne možemo razumjeti. Pa će se postavljati i neka zanimljiva pitanja iz fizike, poput može li se od oblika napraviti neki novi materijal koji bi bio takve strukture. Smithov oblik testiran je i računalno kroz nadogradnju ranijeg algoritma i bez korištenja računala. I jedno i drugo daleko naprednije od Smithova načina, on je oblik, naime, otkrio ručno. Odnosno, koristio je računalni program PolyForm Puzzle Solver koji je napravio podjednaki entuzijast oblika iz Nizozemske, Jaap Scherhuis iz Delfta. Ne vjerujući sasvim računalu, Smith je naprosto izrezao 32 svoja oblika a onda ih počeo spajati. I kada je uvidio da spojeni njegov oblik ne daje ponavljajuće šablone javio se Craigu Kaplanu koji je računalni znanstvenik na Sveučilištu Waterloo.
- Može li ovaj oblik biti odgovorom na takozvani problem 'einsteina', ne bi li to bilo baš sjajno?, napisao mu je. I Kaplan je priznao kako se doista nešto neobično događa kada se oblik počne spajati. I njegov je nadogađeni softver počeo od oblika praviti sve veće i veće oblike.
- Izgledalo je kao da nema granica koliko je oblika moguće spojiti kroz softver, kazao je Kaplan. Pogotovo je zanimljivo što Smithov oblik nije nešto novo, riječ je o 'višezmaju', obliku koji čine više oblika koji podsjećaju na papirnatog zmaja.
- Sigurno je bilo i drugih koji su razmišljali na sličan način, ali ne u ovom kontekstu, da se oblik pokuša spajati. Zapravo nam je cijelo vrijeme bio pred očima, kazao je Kaplan. Također, jedna od znanstvenica spomenula je kako je još nevjerojatnije kako su oblici posloženi na pravilnoj heksagonalnoj mreži a tvore neperiodično popločenje. I onda novo malo čudo, Smith je pronašao još jednog 'einsteina' kojega se dalo 'demontirati' na deset umjesto osam u slučaju prvog. Sada je cijela stvar počela poprimati obrise cijele 'obitelji einsteina', kako su to nazvali u The New York Timesu, koja je zapravo rušila originalnost prvog oblika. Iako sve i dalje funkcionira.
- Kaplan je u suradnji s jednim softverskim razvojnim inženjerom i jednim matematičarem dokazao ne samo da Smithova plocica jest rješenje problema, nego da zapravo mijenjanjem duljina bridova daje beskonacno mnogo drugih rješenja 'einstein' problema: postoji beskonačno mnog pločica čijim kopijama se ravnina moze popločati isključivo neperiodično, rekla nam je dr. Brueckler pojašnjavajući kako ovo otkriće može imati i praktičnu primjenu jer, kako je rekla, ovo nije samo matematička i umjetnička igrarija, jer se aperiodićna popločavanja općenito mogu koristiti kao modeli kvazikristala, tako da potencijalno ima i primjene.
