Rođen je 19. rujna 1947. Osnovnu školu pohađao je u Baškoj Vodi i Makarskoj. Njegov otac Ivan je u Baškoj Vodi imao mesarsko-trgovačku djelatnost a obitelj je imala i ribarski brod. Ivan, kojemu je nadimak bio Šojko, pa otada njegove sinove Matu i Gorana (kasniji potpredsjednik u vladi Ivice Račana) zovu Šojkići, bio je nakratko mobiliziran u partizane potkraj Drugog svjetskog rata.
Poslije rata do 1948. Granići su imali privatnu mesarsku radnju, koja je poslije tijekom osnivanja seljačkih radnih zadruga pretvorena u „narodnu imovinu“. U toj „zadružnoj“ mesnici je Ivan radio od pedesetih do 1964. kada ponovno otvara svoju privatnu koja je radila sve to zatvaranja 1976.
Od ranog djetinjstva su stariji Mate i njegov mlađi brat Goran većinu slobodnog vremena provodili u mesnici. Za trajanja škole po četiri-pet sati na dan, a tijekom školskih praznika i po deset sati.
Mate je prodavao meso mještanima i kasnije turistima dok je Goran još kao petnaestogodišnjak naučio voziti kamion i zajedno s ocem je išao u nabavku stoke po Dalmatinskoj zagori i Hercegovini.
Mate je gimnaziju završio u Splitu. Medicinski fakultet u Zagrebu. Specijalizirao je internu medicinu i dijabetologiju. Sredinom osamdesetih zajedno sa Zdenkom Škrabalom izgradio je jedan od najbolji zavoda za dijabes u ovom dijelu Europu „Vuk Vrhovec“.
1990. je izabran za dekana Medicinskog fakulteta. Potpredsjednik hrvatske Vlade postao je 31. siječnja 1991. Utemeljio je Ured za prognanike i izbjeglice, organizirao je skrb za stotine tisuća izbjeglice kako iz Hrvatske tako kasnije i iz BiH. Bio je glavni pregovarač s JNA o deblokadi vojarni. 8. prosinca 1991. potpisao je Sporazum o povlačenju JNA iz Hrvatske. 1992. je potpisao pristup Hrvatske Konferenciji o europskoj sigurnosti i suradnji.
Ministarstvo vanjskih poslova preuzima 1. lipnja 1993. Sudjeluje u zaustavljanju sukoba između Hrvata i Muslimana u BiH. Potpisnik je Bečkih i Washingtonskih sporazuma. Bio je zamjenik hrvatskog predsjednika Tuđmana tijekom Daytonskih pregovora 1995.
Slijedeće godine potpisao je Sporazum o normalizaciji odnosa sa SRJ u Beogradu. Potpisnik je hrvatskog pristupa u Vijeće Europe 1997. Ministar je bio više od sedam godina, do 27. siječnja 2000.
Zbog mirnoće i tihog glasa u javnosti je dobio nadimak „Očenašek“.
Te godine je s liste HDZ-a postao saborski zastupnik. Bio je kandidat te stranke na predsjedničkim izborima. Nije ušao u drugi krug. Zajedno s Vesnom Škare-Ožbolt tada napušta HDZ i osniva Demokratski centar. U Saboru je bio predsjednik Odbora za europske integracije od 2000. do 2003. Nakon izbora te godine daje ostavku na mjesto predsjednika DC-a zbog loših izbornih rezultata (samo je Vesna Škare-Ožbolt osvojila saborski mandat).
Slijedeće 2004. osniva poduzeće za političke i gospodarske analize. U svibnju 2004. Uskok je pokrenuo istragu protiv njega (i Darinka Bage) zbog navodnog primanja mita. Nekoliko dana je proveo u zatvoru u Remetincu. Županijski sud u Zagrebu ga 12. svibnja oslobađa krivnje. Tu odluku potvrdio je kasnije i Vrhovni sud.
2005. je postao posebni savjetnika predsjednika Hrvatske stranke prava Ante Đapića. U studenom te godine izdao je knjigu „Vanjski poslovi – iza kulisa politike“ u kojoj je opisao svoj put od Baške Vode do Banskih dvora, sudjelovanja u brojnim pregovorima i na kraju boravka u Remetincu. 2007. postao je dekan na Visokoj novinarskoj školi u Zagrebu.
Bio je Uskokov svjedok protiv Ive Sanadera u aferi Hypo banke. Na suđenju se otkrilo da mu je Sanader, koji je bio njegov zamjenik u MVP-u, 1999. sredio kredit za kuću u toj banci od 300 tisuća maraka bez da je morao „ići u banku“.
Tada je potvrdio da je njegova konzultantska tvrtka 2005. s tom bankom potpisala ugovor koji je tri puta bio produživan, kojim mu je za godinu dana isplaćeno 200 tisuća eura. 2009. bio je svjedok obrane optuženih hrvatskih generala pred Haaškim sudom.
U braku sa suprugom Jadrankom rođenom Bago iz Posušja, ima troje djece. Dvije kćeri i sina. Njegova supruga se 1990. iako trudna, učlanila u Zbor narodne garde. Po profesiji je ekonomistica, bila je rizničarka HDZ-a i savjetnica guvernera Hrvatske narodne banke. Žive u obiteljskoj kući u elitnom zagrebačkom naselju Remete.
